PROGRAMMA di MATEMATICA GENERALE

(in questa sezione saranno esposti i principali argomenti del programma ricordando che per avere una visione maggiormente dettagliata del corso è consigliabile studiare sui libri di testo opportuni)

I numeri e le funzioni reali Premessa. Gli assiomi dei numeri reali. Alcune conseguenze degli assiomi dei numeri reali. Cenni di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi, razionali; il numero reale 2 non è razionale .Il concetto intuitivo di funzione. Funzioni e rappresentazione cartesiana. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni invertibili. Funzioni monotòne. Funzioni composte. Funzioni lineari. Funzione valore assoluto: proprietà; disuguaglianza triangolare . Le funzioni potenza,
esponenziale, logaritmo. Le funzioni trigonometriche. Il principio di induzione.
Complementi ai numeri reali Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore di un insieme. Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni. Il binomio di Newton. Crescita di una popolazione batterica. Decadimento di sostanze radioattive.
Limiti di successioni Premessa. Definizioni e prime proprietà; teorema di unicità del limite .Successioni limitate. Operazioni con i limiti; limite della somma di successioni .Forme indeterminate. Teoremi di confronto: teorema della permanenza del segno e suoi corollari; teorema dei carabinieri .Altre proprietà dei limiti di successione: teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima .Alcuni limiti notevoli; Successioni monotòne. Il numero e. Limiti notevoli che si deducono dalla definizione del numero e. Infiniti di ordine crescente.
Limiti di funzioni. Funzioni continue Premessa. Definizioni. Esempi e proprietà dei limiti di funzioni. Limiti notevoli. Funzioni continue. Discontinuità. Alcuni teoremi sulle funzioni continue: teorema della permanenza del segno; teorema dell’esistenza degli zeri; primo teorema dell’esistenza dei valori intermedi; teorema di Weierstrass; secondo teorema dell’esistenza dei valori intermedi; criterio di invertibilità; teorema di continuità delle funzioni inverse.
Derivate. Significato meccanico della derivata. Definizione di derivata; derivabilità e continuità. Operazioni con le derivate: derivata della somma, della differenza, del prodotto e del quoziente. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse: teorema di derivazione delle funzioni composte; teorema di derivazione delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Significato geometrico della derivata. Retta tangente. Le funzioni trigonometriche inverse.
Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. I teoremi di Rolle e di Lagrange. Funzioni crescenti e decrescenti: criterio di monotonia; caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo; criterio di stretta monotonia. Funzioni convesse e concave; criterio di convessità. Il teorema di l’Hôpital. Studio del grafico di una funzione. Asintoti
orizzontali, verticali, obliqui. La formula di Taylor: prime proprietà. Integrali definiti Il metodo di esaustione. L’integrale definito: interpretazione geometrica. Prime proprietà: additività dell’integrale rispetto all’intervallo; teorema della media.
Integrali indefiniti Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo. Formula fondamentale del calcolo integrale. L’integrale indefinito. Integrazione per decomposizione in somma. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti: formula di integrazione per parti. Integrazione per sostituzione: formula di integrazione per sostituzione. Calcolo di aree di figure piane. Calcolo di volumi. Integrali impropri.

(tratto dall'Università degli studi di Milano - www.unimi.it )

PROGRAMMA di FISICA

(in questa sezione saranno esposti i principali argomenti del programma ricordando che per avere una visione maggiormente dettagliata del corso è consigliabile studiare sui libri di testo opportuni)

Introduzione Grandezze fisiche. Sistemi di unità di misura. Grandezze scalari e vettoriali. Calcolo vettoriale.

Cinematica Vettori posizione, spostamento, velocità e accelerazione. Moti rettilinei e curvilinei.

Dinamica del punto materiale. Principi della dinamica. Massa. Quantità di moto. Forza. Lavoro. Teorema dell’energia cinetica. Forze conservative. Energia potenziale. Energia meccanica totale. Conservazione dell’energia. Campo gravitazionale. Campo Coulombiano.
Forze elastiche. Pendolo semplice.

Fluidi Pressione. Fluidi ideali. Leggi dell’idrostatica. Teorema di Bernoulli. Fluidi reali (cenni).

Termodinamica Scale di temperatura. Termometro a gas perfetto. Calore. Capacità termica e calore specifico. Equivalenza calore, lavoro.
Sistema termodinamico. Stati di equilibrio. Trasformazioni reversibili e irreversibili. Gas perfetti. Trasformazioni isometriche, isobariche, adiabatiche, cicliche. Primo principio della termodinamica. Energia interna. Applicazioni ai gas perfetti. Ciclo di Carnot. Secondo principio della termodinamica. Postulati di Clausius e Kelvin. Disuguaglianza di Clausius. Temperatura termodinamica assoluta. Entropia. Variazioni di entropia per i gas perfetti. Teoria cinetica dei gas perfetti. Teorema di equipartizione dell’energia. Teoria classica dei calori specifici dei gas perfetti.

Correnti elettriche Correnti continue e legge di Ohm.

Onde Cenni sulle onde nei mezzi elastici (onde stazionarie , onde longitudinali e trasversali).
 

(tratto dall'Università degli studi di Milano - www.unimi.it )

MATEMATICA

Le Probabilità

PROBABILITA': la probabilità p di un evento aleatorio (casuale) è il quoziente fra il numero dei risultati favorevoli e il numero dei risultati possibili nell'ipotesi che siano tutti ugualmente possibili.

 p(E)=p=f/n      f=casi favorevoli

                         n=casi possibili

-         casi favorevoli É (É=evento) = f

-         casi favorevoli E (E=evento contrario) = n-f

p(É)=n-f /n= 1-f/n  à  p(É)=1-p(É) à p(E)+p(É)=1

Es.) Determinare la probabilità che nel lancio di una moneta esca testa:

        casi possibili: 2

        casi favorevoli: 1

        p=1/2

EVENTI INCOMPATIBILI: eventi relativi allo stesso insieme universo; sono incompatibili quando il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi dell'altro e viceversa allora sono COMPATIBILI.

PROBABILITA' DELL'EVENTO UNIONE DI EVENTI INCOMPATIBILI:

p(E) = p(E1 U E2) = p(E1) + p(E2)

PROB. DELL'EVENTO UNIONE DI EVENTI COMPATIBILI:

p(E) = p(E1 U E2) = p(E1) + p(E2) – p(E1 Õ E2)

FREQUENZA

Rapporto tra numero di successi e il numero di prove: f = s/n

-         la frequenza è a posteriori

-         la probabilità è a priori

LEGGE EMPIRICA DEL CASO:      

In una serie di prove ripetute un gran numero di volte tutte nelle medesime condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza che è approssimativamente uguale alla probabilità e l'approssimazione cresce all'aumentare delle prove.

PROBABILITA' FREQUENTISTA:

la frequenza calcolata su un numero sufficientemente alto di prove.

EVENTI DIPENDENTI:

il verificarsi di uno altera il verificarsi dell'altroàp(E1)¹p(E1/E2)

EVENTI INDIPENDENTI:

il verificarsi dell'uno non altera il verificarsi dell'altroàp(E1)=p(E1/E3)

PROBABILITA' CONDIZIONATA:

la probabilità che un evento casuale A si realizzi nell'ipotesi che un altro evento B si sia realizzato, si chiama probabilità condizionata dell'evento A rispetto a B: p(A/B)=p(AÇB)/p(B)

TEOREMA DELLA PROBABILITA' COMPOSTA DI EVENTI INDIPENDENTI:

Se 2 eventi E1 e E2 sono indipendenti la p del loro evento intersezione è = al prodotto delle loro probabilitààp(E1ÇE2) = p(E1)*p(E2)

LA STESSA (sopra) DI EVENTI DIPENDENTI:

Se 2 eventi E1 e E2 sono dipendenti la p del loro evento intersezione è = al prodotto della probabilità di E1 per la probabilità di E2/E1à p(E1ÇE2) = p(E1)*p(E2/E1)

VARIABILE ALEATORIA DISCRETA E SUA LEGGE DI PROBABILITA':

Funzione che associa ad ogni elemento di uno spazio di risultati "S" 1 e 1 solo numero reale di 1 insieme finito o infinitamente numerabile "T" in modo che a ciascun valore di xi corrisponda una probabilità pi.

Legge di distribuzione della probabilità: associa ad ogni valore di xi la rispettiva probabilità pi.

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE:

Funzione della variabile reale X che è uguale, per ogni valore della x alla probabilità che X assuma un valore minore uguale a x. F(x) = P(X£x).

SPERANZA MATEMATICA o VALOR MEDIO:

Somma dei prodotti dei valori della variabile per le rispettive probabilità.

M(x) = x1*p1+x2*p2+xn*pn

1°TEOREMA: la speranza matematica di una variabile aleatoria costante è = alla costante.

2°TEOREMA: se X è una variabile aleatoria e "a" è una costante reale alloraàM(ax)=aM(x).

Si chiama somma delle variabili aleatorie X + Y, la variabile aleatoria i cui valori sono gli n*m numeri del tipo Xi + Yk che si ottengono sommando ogni valore della X con ogni valore della Y in tutti gli n*m modi possibili.

Si chiama prodotto delle variabili aleatorie X*Y la variabile i cui valori sono gli n*m numeri del tipo xi*yk che si ottengono moltiplicando ogni valore della X con ogni valore della Y in tutti gli n*m modi possibili.

3°TEOREMA: la speranza matematica della somma di due variabili aleatorie è uguale alla somma delle speranze matematiche delle singole variabili.

4°TEOREMA: la speranza matematica del prodotto di due variabili aleatorie indipendenti è uguale al prodotto delle speranze matematiche delle singole variabili.

SCARTO:

X – mx

VARIANZA:

della variabile aleatoria X la speranza matematica del quadrato della differenza tra la variabile X e la speranza matematica: V(X) = M[(X – mx)2]

SCARTO QUADRATICO MEDIO:

radice quadrata aritmetica della varianza: s(X) = ÖV(X)

Formula rapida: V(X) = M(X2) – m2x

STATISTICA

Scienza che si occupa dello studio dei dati riferendosi ad un caso singolo o alla collettività. Il metodo statisticoàinterpretare i fenomeni collettivi.

Fenomeno collettivo: fenomeno costituito da fenomeni singoli tutti dello stesso tipo.

Fenomeno singolo: presenta un' unità statistica con carattere QUALITATIVOàparole o aggettivi e un carattere QUANTITATIVOàvalore numerico.

Ogni carattere presenta le sue modalità e le informazioni relative al carattere si dicono DATI STATISTICI con 2 significati:

1)      frequenza: quante volte si è verificata una certa modalità (qualitativo)

2)      intensità: la misura (quantitativo)

La raccolta dei dati viene eseguita in modo globale o campionario.

Lo studio dei fenomeni collettivià3 fasi

A)    raccolta dei dati

B)     spoglio e trascrizione in tabelle

C)    elaborazione dei dati

MEDIA ARITMETICA

MEDIA ALGEBRICA:

-         media aritmetica semplice M di n numeri àquoziente fra la somma degli n numeri e il num. n. 

-         media aritmetica ponderata si intende la somma dei prodotti di ciascun dato per il rispettivo peso (o frequenza) divisa per il totale dei pesi: M = x1*f1+x2*f2+…+xn*fn

              f1+f2+…+fn                                                                            

-         media geometrica data la distribuzione di n valori positivi (x1; x2; xn) di un carattere quantitativo, si dice media geometrica semplice Mg di tali valori la radice ennesima aritmetica del loro prodotto: Mg = nÖ`  x1*x2*…*xn ; se i dati della distribuzione sono in progressione geometrica e in numero dispari, allora la Mg è il termine centrale; se i termini sono in numero pari allora la Mg dei dati è la Mg dei due termini centrali

-         media armonica data la distribuzione di n valori positivi di un carattere quantitativo, si dice media armonica semplice H di tali il reciproco della media aritmetica dei reciproci dei valori dati: H = n/(1/x1+1/x2+1/x n)

-         media quadratica data la distribuzione di n valore negativi di un carattere quantitativo si chiama media quadratica semplice Mq di tali valori la radice quadrata aritmetica della media aritmetica dei quadrati dei dati

MEDIA DI POSIZIONE:

-         moda valore del carattere al quale corrisponde la massima frequenza

-         mediana il valore che occupa il posto centrale o la semisomma dei due numeri centrali.

VARIABILITA'

Gli indici di variabilità sono:

1)      ASSOLUTIàstessa unità di misura usata x i valori del carattere

2)      RELATIVIàsi ottengono come rapporti fra indici assoluti e altre medie omogenee (moda e mediana)

Campo di variabilità: o "range" di una distribuzione di numeri è la differenza fra il massimo e il minimo valore dei dati

Scarto semplice medio: dato un insieme di n valori e detto M la media aritmetica e |x1-M|; |x2-M| i valori assoluti degli scarti: si definisce scarto semplice medio dalla media aritmetica degli n numeri (x1 x2 xn) la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti dalla loro media aritmetica:

Sm = |x1-M| + |x2-M|+…+|xn-M|

                          N

Se i dati hanno una loro frequenzaà Sm = |x1-M|*f1+|x2-M|*f2+…+|xn-M|*fn

                                                                                    F1+f2+fn

VARIANZA

Dati n valori di un carattere quantitativo x, si chiama varianza del carattere x la media aritmetica dei quadrati degli scarti dei numeri stessi dalla loro media aritmetica:

s2(x) = (x1-M)2+(x2-M)2+…+(xn-M)2

                                     n                       

Se è presente la frequenza si fa come sopra.

SCARTO QUADRATICO MEDIO

Si chiama SQM di n valori (x1; x2; xn) la Ö aritmetica della varianza di tali valori: s2 = 2M-M2

È la differenza fra la media aritmetica dei quadrati dei dati e il quadrato della media aritmetica dei dati stessi.

Coefficiente di variabilitààs/M = rapporto fra lo scarto quadratico medio e la media aritmetica. Questo è moltiplicato per 100 in modo da trovarne la %.

INDIPENDENZA STATISTICA:

La variabile statistica X è indipendente dalla variabile statistica Y se per ogni valore di xi le frequenze relative non dipendono dai valori yk ma sono tutti uguali tra loro e alla frequenza relativa con la quale xi si presenta nell'universo delle n unità.

Freq=riga x colonna

           Tot(rig+col)

Se il risultato è uguale alla freq allora si ha l'indipendenza e occorre provare + volte.

Se c'è una DIPENDENZA tra due variabiliàFUNZIONE (relazione che associa ad ogni X 1 e 1 solo Y) e se si va a calcolare il valore medio tra tutti i punti sulla colonna (quindi il punto medio di x1; x2; xi)à`y .

DIPENDENZA STATISTICA: tabella indicativa di caratteri quantitativiàCORRELAZIONE

                                                        "          "           "        "                "       àCONNESSIONE

FUNZIONE INTERPOLANTE: su 2 punti della retta della funzione, i valori compresi definiscono la relazione.

RETTAàpassa attraverso i punti che ho ma si discosta dal grafico di dispersione commettendo un errore.

METODO DEI MINIMI QUADRATI: per costruire una retta (inetrpolante) che passa tra i punti dati: y=ax+b

            y1-ax1-b=E1

            y2-ax2-b=E2

            y3-ax3-b=E3

Per trovare a e b la somma dei quadrati degli errori deve essere la minima possibile.                 

S = E1² + E2² + …+ En² [è minima] e con calcoli matematici:

a = nåxiyi - åxiåyi

      nåxi2 – (åxi)2

b = åxi2åyi - åxiyåxi

      nåxi2 – (åxi)2

Se si considerano i punti medià a = å(xi -`x)(yi -`y)

                                                            å(xi - `x)2

                                               à b = `y - a`x

x e y sovrassegnato sono i baricentri di distribuzione: punto determinato dai valori medi di x e y.

REGRESSIONE: andamento della madia di un fenomeno, al variare dell'altro, con carattere di dipendenza.

REGRSSIONE AI MINIMI QUADRATI: curva che passa fra i punti di regressione.

CORRELAZIONE E COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE:

Il problema della correlazione ha lo scopo di misurare il grado di interdipendenza tra variabili.

2 variabili sono perfettamente correlate se tutti i valori delle variabili soddisfano esattamente un'equazione. Viceversa se non vi è correlazioneàINCORRELATE.

COEFFICIENTE di correlazione lineareà"r": la media geometrica dei coefficienti di regressione delle due rette, interpolate a minimi quadrati in cui +- sono a seconda che i due coefficienti  siano positivi o negativi.

R = ±Öa1+a2

FISICA

Studia i fenomeni della natura e li organizza con leggi, descritti con numeri, parole e simboliàosservabile (Grandezze e stati fisici).

Gli OSSERVABILI con = definizioneàENTI

Diversi ENTIàCLASSI

Le grandezze sono osservabili con criteri di confronto, somma o sottrazione.

Gli stati fisici sono osservabili ai quali occorre dare una legge ma non è possibile il confronto somma o sottrazione a meno che non si introduca una scala di riferimento.

GRANDEZZEà

-         lunghezza [L]

-         massa [M]

-         tempo [T]

-         intensità di corrente elettrica [i]

-         temperatura [K]

-         intensità luminosa [l]

-         quantità di materia [m]

Le parentesi quadre [ ] stanno ad indicare la dimensione della grandezza stessa: [ L] = m; [M] = kg; [T] = s.

[G] = [M]a[L]b[T]g àequazione dimensionale

Gli angoli sono adimensionali difatti: [a] = [L]/[L] = [a] anche se si misura in radianti.

I VETTORI:

individuati daà

-         modulo (o intensità) che ne esprime la lunghezza

-         direzione (quella della retta cui la freccia appartiene)

-         verso (indicato dalla freccia)

I versoriàvettori di modulo unitario.

La somma di 2 vettori è un vettore diretto lungo la diagonale del parallelogramma avente per lati i vettori e per modulo la lunghezza della diagonale.

La somma di 2 vettori cartesiani è = alla somma algebrica del modulo del vettore A + B se invece il vettore è di verso contrario si fa sempre la somma ma con l'opposto : A-B=A+(-B).

La differenza tra 2 vettori si ottiene sommando al primo vettore l'opposto del secondo. Il modulo del vettore risultante si ricava così:

a = l'angolo tra i 2 vettori

v = Ö|v1|²+|v2|²+2|(v1|*|v2)|*cosa

Il prodotto tra 2 vettori è = a * b = |a| * |b| * cosa (angolo formato tra i 2 vettori).

Per calcolare il modulo di un vettore "cartesiano", si riportano i suoi versori sull'asse x e y e si sommano rispettivamente poi si usa la formula di Pitagora: |C|=ÖA²+B²

FUNZIONI: (vedi matematica)

-         y=ax+b          (retta)

-         y=ax²+bx+c (parabola)

-         x*y=costanteày=costante/x  (iperbole)

-         x²+y²=r²

-         COSENO e SENO sono limitati a –1 e +1

Il prodotto di 2 vettori sul piano cartesiano si esegue moltiplicando le coordinate (x e y) del vettore A per quelle del vettore B.

DERIVATA:

La derivata di una funzione in X0 è il limite se esiste ed è finito, del rapporto incrementale Dy/Dx al tendere cmq a 0 dell'incremento Dx della variabile indipendente.

La retta passante per due punti A e B è detta secante; quando i due punti si avvicinano, la retta è detta tangente difatti il rapporto incrementale è uguale alla tg dell'angolo formato dalla tangente in P0 (A) con la direzione (//) all'asse x per P0.

Differenziale della funzioneàdx:

-         la derivata della somma di 2 funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni: y=f(x)+g(x)àdy=f'(x)+g'(x)

-         la derivata del prodotto di 2 funzioni è uguale alla somma del prodotto tra la derivata della1° per la seconda funzione + la 1° funzione per la derivata della 2°.

-         La derivata del quoziente di 2 funzioni è uguale alla differenza  tra il prodotto della derivata del numeratore per il denominatore – il prodotto tra il numeratore per la derivata del denominatore il tutto fratto il denominatore al quadrato.

-         Derivata di una costanteà0

-         Derivata della variabile indipendente xà1

-         Derivata di una potenzaàDxn=n*x^n-1

-         Derivata di una costante per la variabile xàcostante

-         Derivata di una radiceà1/2Öx

-         Derivata di un esponenzialeàDax= Axlog_eA

-         Derivata di un logaritmoàD(log_aX)=1/x*log_aE

-         Derivata delle funzioni goniometricheàD(senx)=cosx; D(cosx)=-senx; D(tgx)=1+tg²x=1/cos²x; D(sen²x)=cosx*senx

-         Derivata parzialeàquando compaiono + incognite e si risolve la funzione in funzione di ogni singola incognita.

Integrale:                                                                      

dato un intervallo definito [a,b] l'integrale è indicato: ò f(x)dx

i numeri a e b sono detti estremi dell'intervallo (a=estremo inferiore; b=estremo superiore), la f(x) si chiama funzione integranda e la variabile x è la variabile d'integrazione, dx=lunghezza dei singoli intervallini.

-         tnàI(t)=1/(n+1)*t(n+1) + c

-         t(-1) = 1/t    logt + c

-         e(t) = e(t) + c

-         e(at) = 1/a*e(at)

-         e(-t) = -e(-t) + c

-         Öt=t½ à 2/3t^3/2

-         sent = -cost + c

-         cost = sent + c

-         tgt = -logn|cos| + c 

VETTORE POSIZIONEà `r =`r (t) àposizione del corpo a un certo istante con osservatore fermo

VETTORE SPOSTEMENTOà differenza tra 2 vettori posizione

VELOCITA' VETTORIALE MEDIAà `v = (D`r )/ Dt

VELOCITA' VETTORIALE ISTANTANEAàlim(Dtà0) (D`r )/ Dt = dr/dt (variazione del vettore o dell'ascissa)

ACCELERAZIONE VETTORIALE MEDIAà `a = (D`v)/ Dt (velocità media/tempo)

TRAIETTORIAàluogo geometrico dei punti occupato dalla particella durante il moto

LEGGE ORARIAà s=s(t=, funzione matematica che nel tempo (t) ricava la posizione del corpo.

MOTO RETTILINEO UNIFORME: VELOCITA'

Se si considera un punto materiale che si muove in una traiettoria rettilinea (asse x) in modo che gli spazi siano proporzionali al tempo impiegato a percorrerli. (equazione oraria).

O = origine sull'asse x

Xo = ascissa della posizione occupata dal punto all'istante in cui si iniziano a contare gli intervalli t.

v = rapidità in cui il punto cambia posizioneà velocità scalare (media).

Se si considera un intervallo di tempo per Dt = t2 – t1à0 si ha:

Questa si può anche indicare come: Vs = x(t)

In un moto rettilineo uniforme la velocità scalare media è = alla velocità scalare istantanea.

Il concetto di velocità richiede di essere definita come grandezza VETTORIALE.

Il vettore velocità v è: la posizione P del punto all'istante t sia individuata dal vettore spostamento, OP = r = i x(t). Lo spostamento del punto nell'intervallo di tempo Dt = (t2 – t1) è rappresentato dal vettore Dr di intensità (x2 – x1), orientato nel verso del moto. Se esiste il limite:

Questo viene chiamato vettore velocità del punto P all'istante t.

La velocità vettoriale risulta essere un vettore diretto secondo la tangente alla traiettoria nella posizione occupa dal punto materiale all'istante in considerazione, avente il verso del moto, e come intensità il valore assoluto v della velocità scalare.

Le dimensioni della velocità sono: [v] = [LT-1] e l'unità di misura nel SI è il m/s.

MOTO RETTILINEO VARIO: ACCELERAZIONE

Se si considera un punto materiale in moto su una traiettoria rettilinea ma la cui equazione oraria non sia lineare:

Anche in tal caso in ogni istante si può considerare il vettore velocità. La direzione è quella dell'asse x ma l'intensità e il verso potranno cambiare per istante. La velocità scalare non sarà + costante ma dipenderà dal tempo: v = v(t) = ix(t) = iv

L'accelerazione è diretta tangenzialmente alla traiettoria:

Atàl'accelerazione tangenziale, cioè la componente di a sulla direzione della tangente orientata i alla traiettoria. Le dimensioni sono: [a] = [LT-2]àm/s²

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO:

Un punto che si muove con a costante. Se la traiettoria del moto sia un segmento di retta; y = l'ascissa a partire da un punto scelto come origine. L'accelerazione istantanea a (modulo at) è in ogni punto costante e pari all'accelerazione media di un qualunque intervallo temporale (t – t0)à

V0= velocità scalare all'istante t0. Se t0 = 0à v0 è la velocità scalare inzialeà v=v0+at(t)

 Y = ò(da 0 a t) v*dt = y0 + v0t + 1/2at(t)²

MOTO ARMONICO:

A e wàparametri indipendenti da t. Il moto caratterizzato da tale equazione oraria si chiama moto armonico.

wtàangolo di fase o fase all'istante t. –A e A (equvalgono a –1 e +1) ed è l'ampiezza del moto armonico.

Siccome l'argomento della funzione trigonometrica è un angolo allora deve essere adimensionato, le dimensioni del parametro w sono: [w] = [T-1].

L'argomento di tale funzione che è periodica con periodo T, da t a t + T; deve variare di 2pà

w(t + T)- wt = 2p à w = 2p/T = 2pv

v = 1/Tàfrequenza del moto

w = pulsazione e si misura in [rad/s].

La velocità del punto materiale è diretta lungo la traiettoria rettilinea nel verso del moto; la velocità scalare è: v = dx/dt = x(t) = Awcoswt  e varia con il periodo T del moto. Anche l'accelerazione è diretta lungo la traiettoria  e la sua componente tangenziale è: at = dv/dt = x(t)=-Aw2senwt=-w2x.

Avviene su traiettoria circolare.

OP = vettore spostamento del punto P all'istante t.

j = angolo orientato fra le due semirette orientate x e OP

Al crescere di t, OP assume valori superiori a 2pàsi prende sulla traiettoria un sistema di ascisse curvilinee s(t) = L(t) (L = lunghezza dell'arco) con origine in O1 crescenti al crescere di j (verso antiorario).

Si definisce come velocità scalareà v(t) = s(t) = L(t).

La velocità vettoriale v(t) di intensità pari a |s(t)|, diretta lungo la tangente nel verso del moto, cambia la direzione a ogni istante.

L è proporzionale a j (L = Rj, con R raggio della circonferenza) si ha che: L(t)=Rj(t).

La grandezza: j(t)=dj(t)/dt = w prende il nome di velocità angolare scalare. Si misura in radianti al secondo.

La velocità angolare vettoriale w è un vettore che ha:

-         direzione normale al piano della traiettoria

-         il verso in senso antiorario, dove il punto si muove sulla traiettoria

-         intensità w = |j(t)|

Nel moto circolare uniforma, gli archi percorsi sono proporzionali ai tempiàL(t)=vt; j(t)=v/R*t

Per le intensità dei vettori velocità e velocità angolareà v=|v|à w=v/R

Il moto è periodico e se T è il periodo si ha: T=(2pR)/v   e   w = 2p/T

Dv = v(t+Dt) - v(t)

L'accelerazioneà a = lim(Dtà0) Dv/Dt   ed è normale a v(t), cioè è normale alla traiettoria e rivolta verso il centro della traiettoria stessa.

L'intensità di accelerazione: a = lim(Dtà0) Dv/Dt à Dv/Dt=v²/Ràa=w²R.

MOTO RETTILINEO UNIFORME:

l'oggetto percorre spazi = in tempi =.

La traiettoria è una linea retta.

Il rapporto spazio/tempoàdefinisce la velocità che nel MRU è costante.

L'unità di misura è il m/s.

La legge oraria del MRU è: s = v*t

L'equazione è: s(t) = Vo*t + So

MOTO UNIFORME ACCELERATO:

L'oggetto percorre distanze diverse in tempi uguali.

L'accelerazione è la variazione della velocità nel tempo: a = v/t = m/s²

L'equazione è: s(t) = ½ at² + Vo*t + So

ACCELERAZIONE:

La rapidità della variazione nella velocità e nel tempo.

La velocità è direttamente proporzionale al tempoà v/t = a; v = a*t

La legge oraria è: s = ½ at²

MOTO CIRCOLARE UNIFORME:

Traiettoria = circolare

Modulo = costante al tempo (velocità angolare: w = giri/tempoà(modulo della velocità)/raggio)

L'accelerazione è perpendicolare alla velocità e quest'ultima varia nel tempo.

L'accelerazione è centripeta.

Il PERIODO del moto "T" è il tempo impiegato dal corpo per percorrere un intero giroà|v|=(2pr)/T

La FREQUENZA del motoàu = 1/T

LE FORZE:

Sono la causa del movimento. Un corpo non soggetto ad alcune forze rimane fermo.

L'ATTRITO è una forza che si oppone al movimento.

Un punto si dice in EQULIBRIO quando la somma delle forze che agiscono su di esso è nulla.

DINAMICA:

1°Principioàun corpo su cui non agiscono forze si muove di moto rettilineo uniforme.

L'accelerazione è proporzionale alla forzaà F = m*a

Tutto dipende dalla massa m perché la forza imprime accelerazioni diversi a seconda della massa.

2°Principioàl'accelerazione di un oggetto è proporzionale alla forza che gli è applicata.

3°Principioàquando A esercita una forza su B, anche B ne esercita una su A con = intensità e verso opposto.

MECCANICA:

Quando un corpo cade, l'accelerazione è costante e l'attrito aumenta.

Il PESO è una FORZA, non dipende dalla velocità ma dall'attrazione della Terra mentre la MASSA è una grandezza scalare.

L'accelerazione di gravità gàgrandezza vettoriale pari a 9.8m/s².

GRAVITA' UNIVERSALE:

Due corpi si attraggono o si respingono reciprocamente con una forza pari a: F = G(m1*m2)/r²

G = 6.67*10^-11àcostante gravitazionale.

LAVORO:

Forza applicata ad un corpo per imprimere uno spostamento: L = F*S

Si misura in JOULE.

F = m*aàG = m*gàL = G*hàL = m*g*h (m = massa; h = dislivello; G = gravità).

CINETICA:

L'ENERGIA POTENZIALE è l'energia uguale al peso del corpo per il suo dislivelloà

Ep = m*g*h

L'ENERGIA CINETICA è sempre in relazione al movimentoàK = ½ m*v²

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